快速求取节点阻抗矩阵的对称LR三角分解法

各种三角分解法类似于因子表法，用于对常系数线性方程组的系数矩阵进行三角分解以便快速求解方程。常用三角分解法有LR、LDU、CU3种[1-9](LR法、LDU法、CU法)。由于3种分解法计算原理类似、计算过程相近，容易误认为3种分解法计算效率相差不大。但相对LDU法，LR法的计算过程更为简单，计算速度也有一定的优势[11]。

此外，在电力系统计算中，由于节点阻抗矩阵Z所含的信息比节点导纳矩阵Y多得多，因此Z阵与Y阵一样在电力系统计算中被广泛应用，但Z阵的求取远比Y阵复杂。常用求取Z阵的方法有支路追加法[2-3,9]和Y阵求逆法[1-3]，而Y阵求逆法中常用的是LDU法[2-8,9]，个别用高斯消元法[10]。但没有文献用计算效率远高于LDU法的LR法求解Z阵[11]。

再者，传统LR法中L、R因子阵元素单独存放，元素之间的相应关系无法体现和应用，所有元素只能用计算公式一次一个地计算。因此，传统LR法计算效率低下，特别不利于编程计算。虽然文献[12]的改进LDU法和文献[13]的改进LR法也能提高一些计算速度，但由于其下三角元素的计算简化没有达到最佳，因此计算速度并不理想。

本文针对传统LR法计算过程中的不足，提出对称LR三角分解法(对称LR法)，主要包括：合成阵应用、四角规则应用、对角元素取倒、对称LR法中下三角元素的对称算法，大大加快前代计算过程。同时提出根据LR法和对称LR法求解Z阵的方法，并针对LR法计算过程的特点，在求取Z阵时综合应用Z阵的求取顺序、Z阵元素的求取方式、单位矩阵E元素结构特点，从而可利用Z阵元素的对称性，并可省去LR法求取Z阵时中间矩阵的计算，大大加快回代计算过程。

1传统LR三角分解法的不足

传统LR法求解AX=B方程时，可将系数矩阵A分解为单位下三角阵L和上三角阵R的乘积，即将AX=B方程变换成LRX=B，再将LRX=B方程分解成对LW=B方程前代求解W，以及对UX=W方程回代求解X。展开后的A=LR如式(1)。

其中L、R子阵元素的计算公式为

由于传统LR法是依靠式(2)～(3)每次计算一个完整的l或r元素，其计算过程为[6]：计算L子阵第2行元素，计算R子阵第2列元素→计算L子阵第3行元素，计算R子阵第3列元素→,…,→计算L子阵第n行元素，计算R子阵第n列元素。由于其计算过程是先计算L子阵第i行元素，再计算R子阵第i列元素，因此无法利用R子阵第i行元素与L子阵第i列元素的比例对称关系。

传统法还存在以下缺点：①A、L、R阵元素分别用3个数组存放，其数据存储及读写效率低；②L、R阵元素关系不清晰，无法利用其关系进行简化计算或对称计算；③式(2)～(3)复杂繁琐，不利于计算过程的理解和编程；④式(2)～(3)中的求和运算部分(Σ)，不利于计算过程的分步进行以及后续稀疏矩阵技术的应用。

2对称LR三角分解法

2.1合成阵应用

为展示和利用L、R阵元素的关系，本文将式(1)中L、R阵元素放入同一数组中构成合成阵。如4阶矩阵A44阵可分解为A44=L44R44，但将L44、R44阵的元素写在一个合成阵中，同时给出A44阵元素与L44、R44阵元素的关系如式(4)所示。

根据合成阵可发现如下l、r元素的相应关系以及计算规律。

(1)同一行lij、rii、rij元素之间的关系类似于对对角元左侧的lij元素逐个消元的计算，但对lij元素左侧的l元素消元完成后，lij元素均要除以其所在列的对角元素rjj，而对rii、rij元素不用。如式(4)中对l43元素左侧的l41、l42元素消元后可得到元素(l43的分子部分)，对除以所在列的对角元素r33才能得到l43；而对r44元素左侧的l41、l42、l43元素消元，可直接得到r44元素。

因此，形成合成阵后根本无需按式(2)～(3)一个个地计算L、R阵元素，而可以按列消元方式分步计算相应的L、R阵元素。

(2)第i行对角元以右的r元素和第i列对角元以下的l元素有lji=rij/rii关系。因此只需计算rij元素，无需计算lji元素，而通过lji=rij/rii的关系可直接获得lji元素，从而省去对所有元素lji的计算。

由于传统LR法的计算过程是先计算L子阵第i行元素，再计算R子阵第i列元素，因此无法利用R子阵第i行元素与L子阵第i列元素的比例对称关系，因此很难实现对称算法。而本方法计算过程将是先计算R子阵的第i行元素，再根据R子阵的第i行元素得到L子阵的第i列元素，因此可利用R子阵第i行与L子阵第i列元素的比例对称关系。

(3)式(4)中lii(=1)元素与rii元素重合，但并不影响前代和回代计算，且LR合成阵可直接在A阵数组中形成，所以A44、L44、R44阵可仅用1个数组。

文章来源：《电力系统保护与控制》 网址: http://www.dlxtbhykzzz.cn/qikandaodu/2020/1222/632.html