快速因子表法的求解及其应用

派生于高斯消元法的因子表法[1-5]与LR[1,3-5]、LDU[1-2,4-5]、CU[4-5]三角分解法一样，都是求解常系数方程组的经典算法，因子表法中形成因子表的过程实际上就是含规格化的高斯消元法过程。由于因子表法与CU三角分解法计算过程非常相似，因此其计算过程更为简单，计算速度也更快[6]，得到了广泛地应用。

尽管如此，在因子表法的应用过程中，仍有一些可能阻碍其计算效率提高的问题没有明确的依据。(1)形成因子表的过程中，是采用“按行消元，逐行规格化”方式[1]，还是采用“逐行规格化，按列消元”方式[2]？是否两种方式的计算结果一样，实质相同，只是运算次序不同[1]？(2)如何形象化因子表形成过程中元素的计算以便于编程始终是值得探讨的问题。(3)是将消元后的系数矩阵作为因子表[2]，还是将该系数矩阵的对角元素取倒数后再作为因子表[1]，还是有更合适的时机？(4)形成因子表后对常数项列矩阵的前代计算，均采用按行前代的形式[1-5]，也是一个值得商榷的方法。此外，求解节点阻抗矩阵Z的传统方法有支路追加法[2,7]，最常用的是LDU三角分解法[7-11]，极少用不含规格化的高斯消元法[11]，没有用因子表法求取Z阵的介绍。

针对上述问题，本文提出了一种基于对称矩阵的快速因子表法。其中包括以按列消元方式、根据对称矩阵的特点快速形成因子表；应用四角规则，将因子表元素的计算过程形象化，大大方便编程；不是在因子表形成之后，而是在对各行元素规格化之前就将对角元取倒数，进一步减少除法计算；根据因子表存贮上三角非零元素的特点，以按列方式而不是按行方式对常数项列矩阵进行前代计算，以便根据对称性获得下三角非零元素的列标，从而在该计算过程应用稀疏矩阵技术。此外，分别用因子法、LDU三角分解法以及本方法求取IEEE-30、-57、-118节点系统的Z阵。计算结果表明，且无论在“前代”或在“前代+回代”过程中，本方法的计算速度均大大高于前者。

1因子表法及其问题

因子表法可用于快速地求解系数矩阵A不变、仅常数项列矩阵F变化的方程组AX=F。对方程组AX=F进行n-1次含规格化的高斯消元后可得A(n-1)′X=F(n-1)′。此时，可直接将A(n-1)′阵作为因子表[2]，也可将A(n-1)′阵中的对角元素取倒数后的系数矩阵A(n-1)″作为因子表[1]。由于后者可减少后续对F阵前代计算中的除法计算，其计算速度可提高约1%，因此计算效率更高。A、A(n-1)′、A(n-1)″阵展开后分别如下。

在形成A(n-1)′阵时，可以“按行消元，逐行规格化”方式，也可以“逐行规格化，按列消元”方式。这两种方式的计算结果和计算效率表面上看似乎一样[1]，但实际上后者计算效率更高。以“逐行规格化，按列消元”方式形成因子表时，其A(n-1)′阵中的各个元素的计算式如下：

A(n-1)′阵的下三角元素和对角元素是对F阵元素的全部运算记录，后续可用于对不同的F阵进行前代计算求取不同的F(n-1)′阵，其上三角元素则可用于回代求解相应的X阵。将A(n-1)″阵中元素用l、d、u元素替代后的矩阵用LDUn阵表示[1-5]，其四阶阵可表示为LDU4。分别展开后如下。

用LDU4阵对后续F阵元素进行前代计算的过程和顺序如下：

图2F阵元素的前代计算顺序

其中，计算等式左侧无阴影的数字代表对F阵元素是按行前代，几乎所有文献均采用这种前代计算顺序[1-7]。计算等式右侧有阴影的数字代表对F阵元素是按列前代，没有文献采用这种前代计算顺序。

LDU4阵对X阵元素进行回代计算的过程一般均采用按行回代，顺序如下：

实际上，在因子表法中这种l、d、u元素的替代除可简化对F阵元素前代计算过程和对X阵元素回代计算过程的视觉效果外，没有实用意义。

通过上述分析可以发现，因子表法在形成和应用因子表的过程中并没有考虑方程组元素本身的对称性。如果考虑这种对称性，则求解A(n-1)′阵时所采用的方式、求取A(n-1)′阵中元素的方式、对后续F阵元素的前代方式等，都将是简化因子表法的形成过程以及提高因子表法计算速度的关键。

2快速因子表法

由于在电力系统及各种工程应用中，方程组AX=F往往是对称方程组。因此，如果在形成因子表的过程中考虑这点，则可大大提高因子表法的计算效率和计算速度。

2.1以“逐行规格化，按列消元”方式形成因子表

对A阵采用“按行消元，逐行规格化”或“逐行规格化，按列消元”方式求取A(n-1)′阵的计算结果虽然完全相同，但计算效率完全不同。许多文献对含规格化的高斯消元法和因子表法均采用“按行消元、逐行规格化”[2-7,9]方式。实际上，“按行消元、逐行规格化”的计算效率低于“逐行规格化，按列消元”。

文章来源：《电力系统保护与控制》 网址: http://www.dlxtbhykzzz.cn/qikandaodu/2020/1222/634.html